Cho hình chóp \(S.ABCD,\,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\), có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại

Câu hỏi số 548846:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD,\,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\), có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,\,\,D\). BIết \(AB = 2a,\,\,AD = CD = a\), góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha = \,\sqrt 2 \). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SD\).

1. Chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

2. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548846

Phương pháp giải

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Sau đó, tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng vừa tìm được.

Giải chi tiết

1. Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot AD}\\{CD \bot SA}\\{AD;\,SA \subset \left( {SAD} \right)}\end{array}\, \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)} \right.\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot \left( {SAD} \right)}\\{AH \subset \left( {SAD} \right)}\end{array}\, \Rightarrow CD\, \bot AH} \right.\)

Theo giả thiết \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).

Ta có \(AB \bot \left( {SAD} \right)\, \Rightarrow AB \bot SD\)

Lại có \(AH \bot SD \Rightarrow SD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow SD \bot BH\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right);\,\,\left( {SBD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SD}\\{AH \bot SD;\,\,BH \bot SD}\\{AH \subset \left( {SAD} \right);\,\,BH \subset \left( {SBD} \right)}\\{AH \cap BH = \,H \in SD}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \varphi = \,\angle \left( {\left( {SAD} \right),\,\left( {SBD} \right)} \right) = \,\left( {AH;\,BH} \right)\).

+ Hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\) nên \(\alpha = \,\left( {SC;\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \,\left( {SC;AC} \right) = \,\angle SCA\).

Ta có \(AC = \,\sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = a\sqrt 2 ;\,SA = AC.\tan \alpha = 2a\).

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \,\dfrac{1}{{S{A^2}}} + \,\dfrac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AH = \,\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}a\\BH = \,\sqrt {A{H^2} + A{B^2}} = \dfrac{{2\sqrt {30} }}{5}a\\{\rm{cos}}\angle AHB = \,\dfrac{{AH}}{{BH}} = \,\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\,\, \Rightarrow c{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.