Một hình chóp tứ giác đều và một hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao bằng \(3cm\). Đáy

Câu hỏi số 549928:

Vận dụng cao

Một hình chóp tứ giác đều và một hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao bằng \(3cm\). Đáy hình hộp chữ nhật là hình vuông. Biết thể tích và diện tích xung quanh của hai hình bằng nhau. Hãy tính thể tích của hình chóp tứ giác đều và hình hộp chữ nhật đã cho.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549928

Phương pháp giải

+ Hình chóp có : \(p\) là nửa chu vi đáy, \(d\) là trung đoạn, \(h\) là chiều cao, \({S_d}\) diện tích đáy

Diện tích xung quanh : \({S_{xq}} = 2p.d\)

Thể tích : \(V = \dfrac{1}{3}.{S_d}.h\)

+ Hình hộp chữ nhật có chiều dài là \(a\) , chiều rộng là \(b\) và chiều cao là \(h\)

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: \({S_{xq}} = 2\left( {a + b} \right).h\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \(V = a.b.h\)

Vì thể tích của hai hình bằng nhau nên \({a^2} = 3{b^2}\)(1)

Vì diện tích xung quanh của hai hình bằng nhau nên \(2a\sqrt {9 + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = 12b\) (2)

Bình phương hai vế của (2) và thay (1) vào tính được.

Giải chi tiết

Gọi hình chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\) có độ dài cạnh đáy là \(a\) ; Hình hộp chữ nhật là \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh đáy là \(b\).

Đường cao của hình chóp là \(SO\).

Theo đề bài ta có : \(SO = AA' = BB' = CC' = DD' = 3cm\)

Thể tích hình chóp tứ giác đều là : \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.3.{a^2} = {a^2}\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là : \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = 3.b.b = 3{b^2}\)

Vì thể tích của hai hình bằng nhau nên \({a^2} = 3{b^2}\)(1)

Lấy \(M\) là trung điểm của \(BC\left( {M \in BC} \right)\)

Vì \(SO\) là đường cao của hình chóp \(S.ABCD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Mà \(OM \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OM \Rightarrow \Delta SOM\) vuông tại \(O\).

Xét \(\Delta BCD\) có :

\(O\) là trung điểm của \(BD\) (\(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\))

\(M\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của \(\Delta BCD \Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lýPy – ta – go vào \(\Delta SOM\)vuông tại \(O\), ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,S{M^2} = S{O^2} + O{M^2} = {3^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = 9 + \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow SM = \sqrt {9 + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \end{array}\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác là : \({S_1} = \dfrac{1}{2}.{C_{ABCD}}.SM = \dfrac{1}{2}.4.AB.SM = 2.a.\sqrt {9 + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \)

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là : \({S_2} = 4.AB.AA' = 4.b.3 = 12b\)

Vì diện tích xung quanh của hai hình bằng nhau nên \(2a\sqrt {9 + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = 12b\) (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,4{a^2}\left( {9 + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right) = 144{b^2}\\ \Leftrightarrow 36{a^2} + {a^4} = 144{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {36 + {a^2}} \right) = 144{b^2}\end{array}\)

Thay (1) vào ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,3{b^2}\left( {36 + 3{b^2}} \right) = 144{b^2}\\ \Leftrightarrow 36 + 3{b^2} = 48\\ \Rightarrow {b^2} = \dfrac{{48 - 36}}{3} = 4cm\end{array}\)

Ta có : \({a^2} = 3.4 = 12cm\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 12c{m^3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link