Cho hình bình hành \(ABCD\) có đường chéo lớn \(AC\), đường thẳng qua \(D\) cắt \(CA,BC,AB\) lần

Câu hỏi số 550122:

Thông hiểu

Cho hình bình hành \(ABCD\) có đường chéo lớn \(AC\), đường thẳng qua \(D\) cắt \(CA,BC,AB\) lần lượt tại \(I,M,N\). Vẽ \(CF\) vuông góc với \(AD,BG\) vuông góc với \(AC\), \(CE\) vuông góc với \(AB\). Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I\). Chứng minh rằng:

a) \(IM.IN = I{D^2}\);

b)\(\dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{DM}}{{DN}}\);

c) \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550122

Phương pháp giải

a) \(\dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{CI}}{{AI}}\) và \(\dfrac{{CI}}{{AI}} = \dfrac{{ID}}{{IN}}\).

Từ đó \( \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{ID}}{{IN}} \Rightarrow I{D^2} = IM.IN\)

b) \(\dfrac{{DM}}{{DN}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}\) và \(\dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{CM}}{{AD}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}\).

Từ đó \( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{DM}}{{DN}}\)

c) + \(\dfrac{{AE}}{{AG}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AB.AE = AC.AG \Rightarrow AB.AE = AG.(AG + CG)\)

+\(\dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{CG}}{{CB}} = \dfrac{{CG}}{{AD}} \Rightarrow AF.AD = AC.CG \Rightarrow AF.AD = (AG + CG).CG\)

Cộng lại ta sẽ có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Từ \(AD//CM \Rightarrow \Delta AID \sim \Delta CIM(g.g) \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{CI}}{{AI}}\)

Từ \(CD//AN \Rightarrow \Delta ICD \sim \Delta IAN(g.g) \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{AI}} = \dfrac{{ID}}{{IN}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{ID}}{{IN}} \Rightarrow I{D^2} = IM.IN\) (đpcm)

b) Từ \(CD//BN \Rightarrow \Delta MCD \sim \Delta MNB(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{MN}} = \dfrac{{CM}}{{MB}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{MN + DM}} = \dfrac{{CM}}{{MB + CM}} \Rightarrow \dfrac{{DM}}{{DN}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}\) (1)

Vì \(K\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I\) \( \Rightarrow ID = IK\).

Mà \(I{D^2} = IM.IN(cmt)\) nên \(I{K^2} = IM.IN\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IK}}{{IM}} = \dfrac{{IN}}{{IK}}\\ \Rightarrow \dfrac{{IK - IM}}{{IM}} = \dfrac{{IN - IK}}{{IK}}\\ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{IM}} = \dfrac{{KN}}{{IK}}\\ \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{IM}}{{IK}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{CM}}{{AD}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{DM}}{{DN}}\)(đpcm)

c) Xét \(\Delta AGB\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\angle AGB = \angle AEC = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AGB \sim \Delta AEC(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AG}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow AB.AE = AC.AG\)

\( \Rightarrow AB.AE = AG.(AG + CG)\) (3)

\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow AD//BC\) (tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow \angle DAC = \angle ACB\) (hai góc ở vị trí so le trong)

\( \Rightarrow \angle FAC = \angle GCB\)

Xét \(\Delta CGB\) và \(\Delta AFC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle FAC = \angle GCB\left( {cmt} \right)\\\angle AFC = \angle BGC = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CGB = \Delta AFC\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{CG}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow AD = BC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AF.AD = AC.GC\\ \Rightarrow AF.AD = GC.\left( {AG + GC} \right)\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Cộng (3) và (4) theo vế, ta được:

\(AB.AE + AF.AD = \left( {AG + CG} \right).AG + \left( {AG + CG} \right).CG\)

\( \Leftrightarrow AB.AE + AF.AD\;{\rm{ = }}\;A{G^2} + 2.AG.CG + C{G^2} = {(AG + CG)^2} = A{C^2}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link