Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Điểm \(D \in AB\), kẻ \(Dx//AC\) cắt \(BC\) tại \(E\) sao cho \(AE\)

Câu hỏi số 550128:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Điểm \(D \in AB\), kẻ \(Dx//AC\) cắt \(BC\) tại \(E\) sao cho \(AE\) vuông góc với \(CD\) tại \(K\) và \(\dfrac{{CD}}{{AE}} = \dfrac{m}{n}\). Tính \(\dfrac{{{S_{\Delta BDE}}}}{{{S_{ADEC}}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550128

Phương pháp giải

Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tính sẽ bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

\(\left. \begin{array}{l}\Delta FAD \sim \Delta FDC(g.g) \Rightarrow FA = \dfrac{{F{D^2}}}{{FC}}\\\Delta CDA \sim \Delta C{\rm{AF(g}}{\rm{.g)}} \Rightarrow CA = \dfrac{{C{D^2}}}{{FC}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{AC}} = \dfrac{{F{D^2}}}{{C{D^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{DE}}{{AC}} = \dfrac{{A{E^2}}}{{D{C^2}}} = \dfrac{{{n^2}}}{{{m^2}}}\)

\(\Delta BDE \sim \Delta BAC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta BDE}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}} = {\left( {\dfrac{{DE}}{{AC}}} \right)^2} = \dfrac{{{n^4}}}{{{m^4}}}\)

Giải chi tiết

Từ \(D\) kẻ \(Dy//EA\) cắt \(CA\) tại \(F\)

\( \Rightarrow AEDF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DF//AE\\DE//AF\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AEDF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DF = EA\\DE = AF\end{array} \right.\) (tính chất hình bình hành)

Xét \(\Delta FAD\) và \(\Delta FDC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle DAF{\rm{ = }}\angle CDF = 90^\circ \\\angle DFC\;chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta FAD \sim \Delta FDC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FD}} = \dfrac{{FD}}{{FC}}\\ \Rightarrow FA = \dfrac{{F{D^2}}}{{FC}}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta CDA \sim \Delta CAF{\rm{(g}}{\rm{.g)}} \Rightarrow CA = \dfrac{{C{D^2}}}{{FC}}\,\,\,\,\,(2)\)

Chia theo vế của (1) cho (2), ta được: \(\dfrac{{FA}}{{AC}} = \dfrac{{F{D^2}}}{{C{D^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{DE}}{{AC}} = \dfrac{{A{E^2}}}{{D{C^2}}} = \dfrac{{{n^2}}}{{{m^2}}}\)

Vì \(EA//AC \Rightarrow \Delta BDE \sim \Delta BAC(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta BDE}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}} = {\left( {\dfrac{{DE}}{{AC}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{n^2}}}{{{m^2}}}} \right)^2} = \dfrac{{{n^4}}}{{{m^4}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta BDE}}}}{{{S_{\Delta BAC}} - {S_{\Delta BDE}}}} = \dfrac{{{n^4}}}{{{m^4} - {n^4}}} = \dfrac{{{S_{\Delta BDE}}}}{{{S_{ADEC}}}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link