Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt

Câu hỏi số 552263:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB,\,\,SD\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\). Thể tích khối chóp bằng

A. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552263

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Chứng minh \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Kẻ \(HF \bot SD\,\,\left( {F \in SD} \right)\), chứng minh \(HK = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Đặt độ dài cạnh hình vuông ABCD bằng x. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính HF theo x, từ đó tìm x theo a.

- Thể tích của khối chóp là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Do \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: AB // CD \( \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot CD\\HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SHK} \right) \bot CD \Rightarrow \left( {SHK} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

Kẻ \(HF \bot SD\,\,\left( {F \in SD} \right)\). Khi đó \(HF \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HF = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).

Gọi đọ dài cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\) => Tam giác SAB đều cạnh a. Khi đó \(SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt khác \(HF = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}.x}}{{\sqrt {\dfrac{{3{x^2}}}{4} + {x^2}} }} = \dfrac{{x\sqrt {21} }}{7}\).

Suy ra \(x = 2a\) \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \) và \({S_{ABCD}} = {x^2} = 4{a^2}\).

Thể tích của khối chóp đã cho là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.