Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chức \(8\) đợt thi cho các học

Câu hỏi số 552418:

Vận dụng

Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chức \(8\) đợt thi cho các học sinh. Ở mỗi đợt thi, có đúng \(3\) học sinh được chọn để trao giải. Sau khi tổ chức xong \(8\) đợt thi, người ta nhận thấy rằng với \(2\) đợt thi bất kỳ luôn có đúng \(1\) học sinh được trao giải ở cả \(2\) đợt thi đó. Chứng minh rằng có ít nhất \(1\) học sinh được trao giải ít nhất \(4\) lần.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552418

Phương pháp giải

Áp dụng nguyên lý Dirichlet: Nếu xếp nhiều hơn \(n + 1\) đối tượng vào \(n\) cái hộp thì ít nhất một hộp chứa không ít hơn hai đối tượng

Giải chi tiết

Ta biểu thị mỗi học sinh bằng một điểm trên mặt phẳng sao cho không có \(3\) điểm nào thẳng hàng. Ở mỗi đợt thi có đúng \(3\) học sinh được trao giải, ta nối \(3\) điểm biểu thị cho \(3\) học sinh đó thành một tam giác, \(8\) đợt trao giải ta có \(8\) tam giác. Hai đợt thi bất kỳ luôn có đúng \(1\) học sinh được trao giải ở cả \(2\) đợt thi đó tương ứng hai tam giác bất kỳ có chung một đỉnh.

Xét \(\Delta ABC\) là một tam giác bất kỳ trong \(8\) tam giác trên.

Giả sử \(7\) tam giác còn lại mỗi tam giác đều có một đỉnh chung với \(\Delta ABC\) .

Ta có: \(7 = 3.2 + 1\)

Theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất một đỉnh của \(\Delta ABC\) là đỉnh chung của ít nhất \(3\) trong \(7\) tam giác trên.

Ta nhận thấy trong \(3\) điểm \(A,B,C\) có ít nhất một điểm là đỉnh chung của \(4\) tam giác.

Tương ứng với điều này là có ít nhất \(1\) học sinh được trao giải ít nhất \(4\) lần.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link