Cho \(6\) số nguyên dương đôi một khác nhau và đều nhỏ hơn \(10\). Chứng minh rằng luôn tìm

Câu hỏi số 552562:

Vận dụng cao

Cho \(6\) số nguyên dương đôi một khác nhau và đều nhỏ hơn \(10\). Chứng minh rằng luôn tìm được \(3\) số trong đó có \(1\) số bằng tổng hai số còn lại.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552562

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào \(n\) cái chuồng thì bao giờ cũng có một cái chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

+ Tạo các tập hợp tương ứng với đề bài.

+ Xác định “thỏ” và “lồng”. Sau đó áp dụng nguyên lý Dirichlet.

+ Lập luận để chỉ ra hiệu của hai số luôn thuộc tập hợp \(E\).

Giải chi tiết

+ Giả sử \(700\) số nguyên dương đã cho là \({a_1};{a_2};...;{a_{700}}\). Ta xét các tập hợp sau:

\(\begin{array}{l}A = \left\{ {{a_1};{a_2};...;{a_{700}}} \right\}\\B = \left\{ {{a_1} + 6;{a_2} + 6;...;{a_{700}} + 6} \right\}\\C = \left\{ {{a_1} + 9;{a_2} + 9;...;{a_{700}} + 9} \right\}\end{array}\)

Tổng số phần tử của ba tập hợp là \(700.3 = 2100\).

Mỗi phần tử không được lớn hơn: \(2006 + 9 = 2015\)

+ Ta coi “thỏ”là tổng số phần tử của 3 tập hợp \( \Rightarrow \) có \(2100\) con thỏ.

“Lồng”là các số từ \(1 \to 2015\). \( \Rightarrow \)có \(2015\) lồng.

Giả sử mỗi lồng chứa không quá một con thỏ.

\( \Rightarrow \)Số thỏ chứa trong lồng là:\(2015.1 = 2015\)(con thỏ)

(Trái với giả thiết - có \(2100\)con thỏ)

Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất hai con thỏ trong một lồng.

\( \Rightarrow \) Tồn tại hai phần tử bằng nhau.

+ Vì mỗi tập hợp \(A,B,C\) có các phần tử đôi một khác nhau nên hai phần tử bằng nhau phải thuộc hai tập hợp: \(A\) và \(B\) hoặc \(A\) và \(C\) hay \(B\) và \(C\).

Trường hợp thuộc \(A\) và \(B\) ta có: \({a_i} = {a_j} + 6 \Rightarrow {a_i} - {a_j} = 6\)
Trường hợp thuộc \(A\) và \(C\) ta có: \({a_i} = {a_j} + 9 \Rightarrow {a_i} - {a_j} = 9\)
Trường hợp thuộc \(B\) và \(C\) ta có: \({a_i} + 3 = {a_j} + 6 \Rightarrow {a_i} - {a_j} = 3\)

Vậy luôn tồn tại hai số có hiệu thuộc tập hợp \(E\).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link