Trong một thời gian nọ của lớp học Toán có một nhóm gồm \(5\) học sinh. Cứ mỗi người trong

Câu hỏi số 552563:

Vận dụng cao

Trong một thời gian nọ của lớp học Toán có một nhóm gồm \(5\) học sinh. Cứ mỗi người trong nhóm này thì rơi vào trạng thái ngủ gật trong lớp \(2\) lần. Với mỗi cặp học sinh sẽ có \(1\) lần cả hai cùng ngủ gật. Chứng minh rằng tại \(1\) thời điểm nào đó có \(3\) học sinh trong nhóm đó đồng thời ngủ gật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552563

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào \(n\) cái chuồng thì bao giờ cũng có một cái chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

+ Tạo ra các tập hợp chứa các phần tử tương ứng.

+ Xác định “thỏ” và “lồng” và áp dụng nguyên lý Dirichlet

+ Lập luận để chỉ ra 3 số đôi một khác nhau và một số là tổng của 2 số còn lại.

Giải chi tiết

+ Gọi sáu nguyên dương đã cho là: \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) với \(0 < {a_1} < {a_2} < ... < {a_6} < 10\)

+ Đặt \(A = \left\{ {{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}} \right\}\) gồm \(5\)phần tử có dạng \({a_m}\) với \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\)

\(B = \left\{ {{a_2} - {a_1};{a_3} - {a_1};{a_4} - {a_1};{a_5} - {a_1};{a_6} - {a_1}} \right\}\) gồm \(5\) phần tưt có dạng \({a_n} - {a_1}\) với \(n \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\)

Ta thấy các phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(B\) đều thuộc tập hợp \(C = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\)

Số phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(B\) là \(5 + 5 = 10\) phần tử.

+ Ta coi ‘‘thỏ”là số phần tử của cả hai tập hợp \(A\) và \(B\)\( \Rightarrow \) Có \(10\) thỏ.

‘‘Lồng”là số phần tử của tập hợp \(C \Rightarrow \) Có \(9\) lồng.

Giả sử mỗi lồng chứa không quá \(1\) con thỏ.

\( \Rightarrow \) Số thỏ có trong lồng là: \(9.1 = 9\)(con thỏ)

(Trái với giả thiết – có \(10\) con thỏ)

Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất một lồng chứa hai con thỏ.

\( \Rightarrow \) Tồn tại hai số bằng nhau mà chúng không thể cùng thuộc một tập hợp.

+ Tức là \({a_m} = {a_n} - {a_1} \Rightarrow {a_n} = {a_m} + {a_1}\)

Giả sử \({a_m} = {a_n} \Rightarrow {a_1} = 0\) (mâu thuẫn) \( \Rightarrow {a_m};{a_n};{a_1}\) đôi một khác nhau.

Vậy tồn tại ba số \({a_m};{a_n};{a_1}\) trong đó có \({a_n} = {a_m} + {a_1}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link