Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;..;16} \right\}\). Hãy tìm một số nguyên dương \(k\) nhỏ nhất sao cho trong

Câu hỏi số 552597:

Vận dụng

Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;..;16} \right\}\). Hãy tìm một số nguyên dương \(k\) nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập hợp con gồm \(k\) phần tử của \(A\) đều tồn tại hai số phân biệt \(a,b\) mà \({a^2} + {b^2}\) là một số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552597

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào \(n\) cái chuồng thì bao giờ cũng có một cái chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

+ Hợp số là một số tự nhiên lớn hơn \(1\), có nhiều hơn \(2\) ước.

+ Số nguyên tố là một số tự nhiên khác \(0\), chỉ có \(2\) ước là \(1\) và chính nó.

+ Số thỏ : \(9\) thỏ; Số lồng : \(8\) lồng.

Giải chi tiết

+ Nếu \(a,b\) chẵn thì \({a^2} + {b^2}\) là hợp số.

Gọi \(X \subset A\) có hai phần tử \(a,b\)

Vì \({a^2} + {b^2}\) là số nguyên tố \( \Rightarrow X\) không chỉ chứa số chẵn \( \Rightarrow k \ge 9\).

Ta cần chứng minh : với mọi tập con của \(X\) gồm \(9\) phần tử bất kỳ của \(A\) luôn tồn tại hai phần tử phân biệt \(a,b\) sao cho \({a^2} + {b^2}\) là số nguyên tố.

Ta chia tập \(A\) thành các cặp hai phần tử phân biệt sao cho tổng bình phương của mỗi cặp là số nguyên tố.

Các cặp đó là : \(\left( {1;4} \right),\left( {2;3} \right),\left( {5;8} \right),\left( {6;11} \right),\left( {7;10} \right),\left( {9;16} \right),\left( {12;13} \right),\left( {14;15} \right)\). Ta có \(8\) cặp (\(8\) lồng)

(\(9\) thỏ ; \(8\) lồng)

Theo nguyên lý Dirichlet thì \(9\) phần tử của \(X\) có hai phần tử cùng thuộc một cặp trên.

Vậy \(k = 9\) là số phần tử của tập hợp \(A\) thoả mãn yêu cầu của bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link