Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{{(x + \ln x)}^2}}}{\rm{d}}x = \dfrac{1}{{ae + b}}} \) với \(a,b \in

Câu hỏi số 552890:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{{(x + \ln x)}^2}}}{\rm{d}}x = \dfrac{1}{{ae + b}}} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = 2a + {b^2}\).

A. \(T = 1\)

B. \(T = 4\)

C. \(T = 2\)

D. \(T = 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552890

Phương pháp giải

+ Chia cả 2 tử và mẫu cho biểu thức phù hợp để đưa về dạng vi phân.

+ Tính tích phân bằng phương pháp vi phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_1^e {\dfrac{{\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_1^e {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {1 + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)}}{{{{\left( {1 + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)}^2}}}} \)\( = \left. { - \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\ln x}}{x}}}} \right|_1^e\)\( = \dfrac{1}{{e + 1}}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\). Khi đó: \(T = 2a + {b^2} = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.