Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\) và thỏa mãn \(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left(

Câu hỏi số 553155:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\) và thỏa mãn \(\int\limits_{ - 2}^3 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} \right)dx} = 1\,\,;\,\,\,\int\limits_1^5 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = 3\). Tính \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \)?

A. \( - 15\)

B. \( - 2\)

C. \( - 13\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553155

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5} - x = t \Rightarrow \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 5} }} - 1} \right)dx = dt \Leftrightarrow \dfrac{{x - \sqrt {{x^2} + 5} }}{{\sqrt {{x^2} + 5} }}dx = dt\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 5} = \left( {x + t} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 5 = {x^2} + 2xt + {t^2} \Leftrightarrow 2xt = 5 - {t^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 - {t^2}}}{{2t}}\)

\( \Rightarrow dx = d\left( {\dfrac{5}{{2t}} - \dfrac{t}{2}} \right) \Leftrightarrow dx = \left( { - \dfrac{5}{2}.\dfrac{1}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{2}} \right)dt \Rightarrow dx = - \dfrac{{5 + {t^2}}}{{2{t^2}}}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow t = 5\\x = 2 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_5^1 {f\left( t \right)\left( { - \dfrac{{5 + {t^2}}}{{2{t^2}}}} \right)dt} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_1^5 {f\left( x \right).\dfrac{{5 + {x^2}}}{{2{x^2}}}dx} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}\int\limits_1^5 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}.3 + \dfrac{1}{2}.\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = 1\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = - 13\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.