Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol: \(y = {x^2} + 2x + 1\) và đường thẳng \(y = \left( {m +

Câu hỏi số 553158:

Vận dụng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol: \(y = {x^2} + 2x + 1\) và đường thẳng \(y = \left( {m + 1} \right)x + 5\) có giá trị nhỏ nhất bằng?

A. \(\dfrac{{16}}{3}\)

B. \(16\)

C. \(\dfrac{{64}}{3}\)

D. \(\dfrac{{32}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553158

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + 2x + 1 = \left( {m + 1} \right)x + 5\) phải có 2 nghiệm \({x_1} < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 4 = 0\) \(\left( * \right)\) phải có 2 nghiệm \({x_1} < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {1 - m} \right)^2} + 16 > 0\,\,\,\forall m\)

\({S_{\left( H \right)}} = \int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left[ {{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 4} \right]dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{1 - m}}{2}{x^2} - 4x} \right)} \right|_{{x_2}}^{{x_1}}\)

\( = \dfrac{1}{3}\left( {{x_1}^3 - {x_2}^3} \right) + \dfrac{{1 - m}}{2}\left( {{x_1}^2 - {x_2}^2} \right) - 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left[ {\dfrac{1}{3}\left( {{x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) + \dfrac{{1 - m}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right]\)

\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left\{ {\dfrac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] + \dfrac{{1 - m}}{2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right\}\)

Do \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left\{ {\dfrac{1}{3}\left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4} \right] - \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{2} - 4} \right\} = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left[ { - \dfrac{1}{6}{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \dfrac{8}{3}} \right]\)

\( \Rightarrow {S_{\left( H \right)}}^2 = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}.{\left[ {\dfrac{1}{6}{{\left( {m - 1} \right)}^2} + \dfrac{8}{3}} \right]^2} = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right].{\left[ {\dfrac{1}{6}{{\left( {m - 1} \right)}^2} + \dfrac{8}{3}} \right]^2}\)

\( = \left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 16} \right].{\left[ {\dfrac{1}{6}{{\left( {m - 1} \right)}^2} + \dfrac{8}{3}} \right]^2}\)

\( \Rightarrow {S_{\left( H \right)}}^2\) nhỏ nhất bằng \(16.{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)^2}\) khi \(m = 1\)

Vậy \({S_{\left( H \right)}}\min = \sqrt {16.{{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)}^2}} = 4.\dfrac{8}{3} = \dfrac{{32}}{3}\) khi \(m = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.