Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m dể phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}}

Câu hỏi số 553202:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m dể phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn [1;2] biết \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m\).

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553202

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Rightarrow {t^3} = f\left( x \right) + m\).

- Xét hàm đặc trưng, biểu diễn t theo x.

- Từ đó đưa phương trình về dạng p(m) = h(x).

- Chứng minh h(x) đồng biến trên [1;2], từ đó phương trình có nghiệm khi \(p\left( m \right) \in \left[ {h\left( 1 \right);h\left( 2 \right)} \right]\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Rightarrow {t^3} = f\left( x \right) + m\), khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) = {x^3} - m\\f\left( x \right) = {t^3} - m\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( t \right) - {x^3} = f\left( x \right) - {t^3}\) \( \Leftrightarrow f\left( t \right) + {t^3} = f\left( x \right) + {x^3}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^3} = {x^5} + 4{x^3} - 4m\) có \(g'\left( x \right) = 5{x^4} + 12{x^2} > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) nên hàm số đồng biến trên [1;2], do đó \(g\left( t \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow t = x \Leftrightarrow {x^3} = f\left( x \right) + m\).

\( \Leftrightarrow {x^3} = {x^5} + 3{x^3} - 4m + m\) \( \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} - 3m = 0 \Leftrightarrow 3m = {x^5} + 2{x^3}\) (*).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3}\) trên [1;2] có \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) nên hàm số đồng biến trên [1;2].

\( \Rightarrow h\left( x \right) \in \left[ {h\left( 1 \right);h\left( 2 \right)} \right] = \left[ {3;48} \right]\).

Do đó phương trình (*) có nghiệm thuộc [1;2] khi \(3 \le 3m \le 48 \Leftrightarrow 1 \le m \le 16\).

Mà m nguyên nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;16} \right\}\). Vậy có 16 giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.