Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn \(x +

Câu hỏi số 553210:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn \(x + {e^x}f'\left( {{e^x}} \right) = f\left( {{e^x}} \right) + 1\), \(\forall x \in \,\mathbb{R}\) và f(1) = 1. Giá trị f(4) thuộc khoảng nào sau đây?

A. (3;4)

B. (2;3)

C. (4;5)

D. (5;6)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553210

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow x = \ln t\)

- Chuyển vế, chia cho biểu thức thích hợp để đưa về dạng đạo hàm của thương.

- Lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow x = \ln t\) ta có:

\(\begin{array}{l}\ln t + tf'\left( t \right) = f\left( t \right) + 1\\ \Leftrightarrow tf'\left( t \right) - f\left( t \right) = 1 - \ln t\\ \Leftrightarrow \dfrac{{tf'\left( t \right) - f\left( t \right)}}{{{t^2}}} = \dfrac{{1 - \ln t}}{{{t^2}}}\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{f\left( t \right)}}{t}} \right]' = \dfrac{{1 - \ln t}}{{{t^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( t \right)}}{t} = \int {\dfrac{{1 - \ln t}}{{{t^2}}}dt} = - \dfrac{1}{t} - \int {\dfrac{{\ln tdt}}{{{t^2}}}} \end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = \dfrac{1}{{{t^2}}}dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = - \dfrac{1}{t}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{{\ln t}}{{{t^2}}}dt} = - \dfrac{1}{t}\ln t + \int {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{t}dt} = - \dfrac{1}{t}\ln t - \dfrac{1}{t} + C\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f\left( t \right)}}{t} = - \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t}\ln t + \dfrac{1}{t} + C = \dfrac{1}{t}\ln t + C\\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{1} = C \Leftrightarrow C = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \dfrac{1}{x}\ln x + 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln x + x\end{array}\)

Vậy \(f\left( 4 \right) = \ln 4 + 4 \approx 5,4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.