Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc

Câu hỏi số 553222:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^o}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Tính \(\tan \,\varphi \)

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \(\sqrt 5 \)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553222

Phương pháp giải

Tìm hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Từ đó xác định được góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\)

Tìm hình chiếu vuông góc của \(SD\) lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Từ đó xác định được góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAC} \right)\)

Giải chi tiết

Hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).

Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \angle SCA = {45^o}\)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Trong tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan {45^o} = \dfrac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow 1 = \dfrac{{SA}}{{2a\sqrt 2 }} \Rightarrow SA = 2a\sqrt 2 \)

Gọi giao điểm của \(AC\) và \(BD\) là \(O\)

Do \(OD \bot AC\) và \(OD \bot SA\) nên \(OD \bot \left( {SAC} \right)\)

Suy ra hình chiếu vuông góc của \(SD\) lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là \(SO\)

Khi đó \(\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SD,SO} \right) = \angle DSO\)

Trong tam giác \(SAO\) ta có: \(S{A^2} + O{A^2} = S{O^2}\), thay số \(SO = \sqrt {8{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt {10} \)

Trong tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) ta có: \(\tan \angle DSO = \dfrac{{OD}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.