Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Mặt bên \(\left( {SAB}

Câu hỏi số 554158:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\).

a) Chứng minh rằng \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính \(\tan \varphi \).

c) Tính khoảng cách từ \(K\) đến \(\left( {SAD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554158

Giải chi tiết

a) Theo Vì \(\Delta SAB\) là tam giác đều và \(H\)là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\)

Vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(AB\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\).

Mà \(AB \bot AD\), suy ra \(AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)

b) Có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên HC là hình chiếu của SC trên \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\angle \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC,HC} \right) = \angle SCH = \varphi \).

Xét D\(SAB\) là tam giác đều cạnh a và SH là đường cao nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Vậy \(\tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).

c) Vì\(BC//AD \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {K,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right)\)

Trong mp\(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(HE \bot SA\left( {E \in SA} \right)\)

Có\(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow HE \bot \left( {SAD} \right)\)

Do đó \(d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = HE \Rightarrow d\left( {K,\left( {SAD} \right)} \right) = 2HE\).

Xét tam giác SHA có HE là đường cao nên \(HE = \dfrac{{SH.HA}}{{\sqrt {S{H^2} + H{A^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(d\left( {K,\left( {SAD} \right)} \right) = 2HE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.