Cho \(xy \ge 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 1}} \ge \dfrac{2}{{xy +

Câu hỏi số 554781:

Thông hiểu

Cho \(xy \ge 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 1}} \ge \dfrac{2}{{xy + 1}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554781

Phương pháp giải

Xét hiệu: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 1}} - \dfrac{2}{{xy + 1}}\)

Giải chi tiết

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}\;\,\,\,\,\;\dfrac{1}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 1}} - \dfrac{2}{{xy + 1}}\\ = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}} - \dfrac{1}{{xy + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{y^2} + 1}} - \dfrac{1}{{xy + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{xy + 1 - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}} + \dfrac{{xy + 1 - \left( {{y^2} + 1} \right)}}{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{xy - {x^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}} + \dfrac{{xy - {y^2}}}{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {xy - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) + \left( {xy - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) - y\left( {y - x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {y - x} \right)\left[ {x\left( {{y^2} + 1} \right) - y\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {y - x} \right)\left( {y - x} \right)\left( {xy - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {y - x} \right)}^2}\left( {xy - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}}\end{array}\)

Vì \(xy \ge 1 \Rightarrow \left( {xy - 1} \right) \ge 0\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}{\left( {y - x} \right)^2} \ge 0\\\left( {xy - 1} \right) \ge 0\\\left( {{x^2} + 1} \right) > 0\\\left( {{y^2} + 1} \right) > 0\\\left( {xy + 1} \right) > 0\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {y - x} \right)}^2}\left( {xy - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {xy + 1} \right)}} \ge 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{y^2} + 1}} \ge \dfrac{2}{{xy + 1}}\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link