Cho \(a,b,c\) là các số thực và \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge

Câu hỏi số 554782:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực và \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{1}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554782

Phương pháp giải

Hẳng đẳng thức: \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Hằng đẳng thức mở rộng: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)

Giải chi tiết

Ta xét tổng sau:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}\\ = {a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - abc + {c^2} + {c^2} - 2ac - {a^2}\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2ab - 2bc - 2ac\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2ab - 2bc - ac \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} = {1^2} = 1\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{1}{3}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link