Cho \(a,b,c > 0\) thoả mãn: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{{18}}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a} +

Câu hỏi số 554783:

Vận dụng

Cho \(a,b,c > 0\) thoả mãn: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{{18}}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{{abc}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554783

Phương pháp giải

Hằng đẳng thức mở rộng: \({\left( {a + b - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - 2ac - 2bc\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {a + b - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab - ac - bc} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge - 2\left( {ab - ac - bc} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - \left( {ab - ac - bc} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge ac + bc - ab\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{18}} \ge ac + bc - ab\\ \Leftrightarrow ac + bc - ab \le \dfrac{1}{{36}} < 1\end{array}\)

Chia cả hai vế cho \(abc\left( {a,b,c > 0} \right)\) ta có:

\(\dfrac{{ac}}{{abc}} + \dfrac{{bc}}{{abc}} - \dfrac{{ab}}{{abc}} < \dfrac{1}{{abc}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{{abc}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link