Cho \(a,b,c\) thoả mãn: \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \(\left( {\dfrac{1}{a} - 1} \right)\left(

Câu hỏi số 554784:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) thoả mãn: \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \(\left( {\dfrac{1}{a} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{b} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{c} - 1} \right) \ge 8\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554784

Phương pháp giải

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM): Trung bình cộng của \(n\) số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi \(n\) số đó bằng nhau.

Cho hai số thực không âm \(a,b\), ta có: \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{a} - 1 = \dfrac{{1 - a}}{a} = \dfrac{{a + b + c - a}}{a} = \dfrac{{b + c}}{a}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số không âm \(b,c\): \(b + c \ge 2\sqrt {bc} \)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(b = c\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{a} - 1 \ge \dfrac{{2\sqrt {bc} }}{a}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{1}{b} - 1 \ge \dfrac{{2\sqrt {ac} }}{b}\) và \(\dfrac{1}{c} - 1 \ge \dfrac{{2\sqrt {ab} }}{c}\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {\dfrac{1}{a} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{b} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{c} - 1} \right) \ge \dfrac{{2\sqrt {bc} .2\sqrt {ac} .2\sqrt {ab} }}{{abc}} = \dfrac{{8\sqrt {bc.ac.ab} }}{{abc}} = \dfrac{{8\sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} }}{{abc}} = \dfrac{{8abc}}{{abc}}\left( {a,b,c > 0} \right) = 8\) (đpcm)

Vậy \(\left( {\dfrac{1}{a} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{b} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{c} - 1} \right) \ge 8\). Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link