Cho \(a,b,c,d > 0\). Chứng minh rằng: \(2 < \dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c + d}} +

Câu hỏi số 554786:

Vận dụng

Cho \(a,b,c,d > 0\). Chứng minh rằng: \(2 < \dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c + d}} + \dfrac{{c + d}}{{c + d + a}} + \dfrac{{d + a}}{{d + a + b}} < 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554786

Phương pháp giải

Phương pháp xét khoảng giá trị của biến

Giải chi tiết

Vì \(a,b,c,d > 0\) nên ta có:

\(\dfrac{{a + b}}{{a + b + c + d}} < \dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} < \dfrac{{a + b + d}}{{a + b + c + d}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\dfrac{{b + c}}{{a + b + c + d}} < \dfrac{{b + c}}{{b + c + d}} < \dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c + d}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(\dfrac{{c + d}}{{a + b + c + d}} < \dfrac{{c + d}}{{a + c + d}} < \dfrac{{b + c + d}}{{a + b + c + d}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

\(\dfrac{{a + d}}{{a + b + c + d}} < \dfrac{{a + d}}{{a + b + d}} < \dfrac{{a + d + c}}{{a + b + c + d}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

\(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) + \left( 4 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{a + b + b + c + c + d + a + d}}{{a + b + c + d}} < \dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c + d}} + \dfrac{{c + d}}{{a + c + d}} + \dfrac{{a + d}}{{a + b + d}} < \dfrac{{a + b + d + a + b + c + a + c + b + a + d + c}}{{a + b + c + d}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {a + b + c + d} \right)}}{{\left( {a + b + c + d} \right)}} < \dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c + d}} + \dfrac{{c + d}}{{a + c + d}} + \dfrac{{a + d}}{{a + b + d}} < \dfrac{{3\left( {a + b + c + d} \right)}}{{a + b + c + d}}\\ \Leftrightarrow 2 < \dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c + d}} + \dfrac{{c + d}}{{a + c + d}} + \dfrac{{a + d}}{{a + b + d}} < 3(dpcm)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link