Cho \(a,b,c\) là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: \(1 < \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} +

Câu hỏi số 554787:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: \(1 < \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} < 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554787

Phương pháp giải

Bất đẳng thức tam giác: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn luôn lớn hơn cạnh còn lại.

Giải chi tiết

Vì \(a,b,c\) là số đo của ba cạnh tam giác \( \Rightarrow a,b,c > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác, có: \(a < b + c\,;\,\,b < a + c\,\,;\,\,c < b + a\)

Ta có: \(\dfrac{a}{{b + c}} < \dfrac{{a + a}}{{a + b + c}} = \dfrac{{2a}}{{a+b + c}}\)

Mặt khác: \(\dfrac{a}{{b + c}} > \dfrac{a}{{a + b + c}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{b + c}} < \dfrac{{2a}}{{a+b + c}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{b}{{a + b + c}} < \dfrac{b}{{a + c}} < \dfrac{{2b}}{{a + b + c}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\) và \(\dfrac{c}{{a + b + c}} < \dfrac{c}{{a + b}} < \dfrac{{2c}}{{a + b + c}}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

\(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} < \dfrac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}}\\ \Leftrightarrow 1 < \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} < 2(dpcm)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link