Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n > 2\) thì \({n^2} > n + 5\).

Câu hỏi số 554789:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554789

Phương pháp giải

Phương pháp quy nạp

Cần chứng minh mệnh đề đúng với \(\left\{ \begin{array}{l}n = 3\\n > 3\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Vì \(n > 2\) nên \(n \ge 3\)

+ Với \(n = 3\) ta có \({n^2} = {3^2} = 9\)

\(n + 5 = 3 + 5 = 8\)

\( \Rightarrow {n^2} > n + 5\).

\( \Rightarrow \)Mệnh đề đúng với \(n = 3\)

+ Giả sử mệnh đề cũng đúng với \(n = k\left( {k \in \mathbb{N},k \ge 3} \right)\).

Khi đó \({k^2} > k + 5\). Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là: \({\left( {k + 1} \right)^2} > \left( {k + 1} \right) + 5\).

Thật vậy, ta có: \({\left( {k + 1} \right)^2} - \left[ {\left( {k + 1} \right) + 5} \right] = {k^2} + 2k + 1 - k - 6 = {k^2} - \left( {k + 5} \right) + 2k\)

Vì \({k^2} > k + 5 \Rightarrow {k^2} - \left( {k + 5} \right) > 0\)

Mà \(2k > 0\)

\( \Rightarrow {k^2} - \left( {k + 5} \right) + 2k > 0\)

Do vậy mệnh đề đúng với mọi \(k \ge 3\)

Vậy với mọi số nguyên dương \(n > 2\) thì \({n^2} > n + 5\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link