Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z -

Câu hỏi số 555443:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 27\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A\left( {0;0; - 4} \right)\),\(B\left( {2;0;0} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\), là hình tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có phương trình dạng \(ax + by - z + c = 0\), khi đó \(a - 2b + 3c\) bằng

A. \(10\).

B. \( - 8\).

C. 0.

D. \( - 14\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555443

Phương pháp giải

- Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Sử dụng định lí Pytago tính r theo h.

- Tính thể tích khối nón theo biến h, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.

- Từ giả thiết A, B thuộc \(\left( \alpha \right)\), \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = h\) lập hệ phương trình tìm a, b, c.

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3), bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).

Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

Áp dụng định lí Pytago ta có: \({r^2} = {R^2} - {h^2}\).

Khi đó, thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left( {{R^2} - {h^2}} \right)h = \dfrac{\pi }{3}\left( { - {h^3} + {R^2}h} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( h \right) = - {h^3} + {R^2}h\) có \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + {R^2} = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có BBT:

\( \Rightarrow {V_{\max }} \Leftrightarrow h = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }} = 3\), khi đó \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = 3\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A, B và \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = 3\) nên ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4 + c = 0\\2a + c = 0\\\dfrac{{\left| {a - 2b - 3 + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1} }} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 4\\a = 2\\\dfrac{{\left| {2 - 2b - 3 - 4} \right|}}{{\sqrt {4 + {b^2} + 1} }} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c = - 4\\{\left( {2b + 5} \right)^2} = 9\left( {{b^2} + 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c = - 4\\5{b^2} - 20b + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy a – 2b + 3c = 2 – 2.2 + 3.(-4) = -14.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.