Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = 1 - x\)

Câu hỏi số 555444:

Vận dụng

Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = 1 - x\) cắt đồ thị hàm số \((C):y = {x^3} + m{x^2} + 1\) tại ba điểm phân biệt \(A\left( {0\,;\,1} \right),{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) sao cho tiếp tuyến với \((C)\) tại \(B\) và \(C\) vuông góc nhau.

A. \(10\).

B. \(5\).

C. \(25\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555444

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm. Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

- Gọi \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {{x_1};1 - {x_1}} \right),\,\,C\left( {{x_2};1 - {x_2}} \right)\). Áp dụng hệ thức Vi-ét.

- Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại B, C với (C), lần lượt là \({k_1},\,\,{k_2}\).

- Vì tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau nên \({k_1}{k_2} = - 1\), giải tìm m.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} + m{x^2} + 1 = 1 - x \Leftrightarrow {x^3} + m{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + mx + 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - 4 > 0\\1 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\).

Khi đó \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {{x_1};1 - {x_1}} \right),\,\,C\left( {{x_2};1 - {x_2}} \right)\).

Ta có \(y' = 3{x^2} + 2mx\) nên hệ số góc của tiếp tuyến tại B, C với (C) lần lượt là \({k_1} = 3x_1^2 + 2m{x_1}\) và \({k_2} = 3x_2^2 + 3m{x_2}\).

Vì tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau nên \({k_1}{k_2} = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 + 3m{x_1}} \right)\left( {3x_2^2 + 3m{x_2}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 6m{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4{m^2}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 9 + 6m\left( { - m} \right) + 4{m^2} = - 1\\ \Leftrightarrow - 2{m^2} = - 10 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của m là \({\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} = 10\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.