Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số

Câu hỏi số 555445:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\) như hình vẽ.

Hỏi hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 1} \right) + \dfrac{2}{3}{x^3} + 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - 3;\, - 2} \right)\).

B. \(\left( { - 1;\,0} \right)\).

C. \(\left( {1;\,2} \right)\).

D. \(\left( { - 2;\, - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555445

Phương pháp giải

- Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 1} \right) + \dfrac{2}{3}{x^3} + 1\), tính đạo hàm.

- Đặt \(x = t - 1\), sử dụng tương giao tìm nghiệm của phương trình g’(x) = 0.

- Lập BXD g’(x).

Giải chi tiết

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 1} \right) + \dfrac{2}{3}{x^3} + 1\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} - 1} \right) + 2{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2x\left[ {f'\left( {{x^2} - 1} \right) + x} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 1} \right) = - x\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\).

Đặt \(x = t - 1\), khi đó phương trình (*) trở thành \(f\left[ {{{\left( {t - 1} \right)}^2} - 1} \right] = 1 - t \Leftrightarrow f\left( {{t^2} - 2t} \right) = 1 - t\,\,\left( {**} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = a \in \left( {0;1} \right)\\t = 2\\t = b \in \left( {2;3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = a - 1 \in \left( { - 1;0} \right)\\x = 1\\x = b - 1 \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\).

Ta có BXD \(g'\left( x \right)\):

Từ BXD suy ra hàm số g(x) luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;a - 1} \right),\,\,\left( {0;1} \right),\,\,\left( {b - 1; + \infty } \right)\).

Với \(a - 1 \in \left( { - 1;0} \right),\,\,b - 1 \in \left( {1;2} \right)\) chọn \(\left( { - 2; - 1} \right) \subset \left( { - 2;a - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.