Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2;4;5} \right)\) và cắt ba tia

Câu hỏi số 555454:

Vận dụng cao

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2;4;5} \right)\) và cắt ba tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại ba điểm \(A,B,C\) sao cho thể tích tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất là \(ax + by + cz - 60 = 0\).Tính \(a + b + c\).

A. \(19\).

B. \(32\).

C. \(30\).

D. \(51\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555454

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ A, B, C.

- Tính \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC\).

- Thay tọa độ điểm M vào phương trình \(mp\left( \alpha \right)\), sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có \(A\left( {\dfrac{{60}}{a};0;0} \right),\,\,B\left( {0;\dfrac{{60}}{b};0} \right),\,\,C\left( {0;0;\dfrac{{60}}{c}} \right)\) \(\left( {a,b,c > 0} \right)\).

\( \Rightarrow OA = \dfrac{{60}}{a},\,\,OB = \dfrac{{60}}{b},\,\,OC = \dfrac{{60}}{c}\).

\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{{60}^3}}}{{abc}}\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua M(2;4;5) nên \(2a + 4b + 5c - 60 = 0 \Leftrightarrow 2a + 4b + 5c = 60\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(2a + 4b + 5c \ge 3\sqrt[3]{{2a.4b.5c}} \Leftrightarrow 60 \ge 3\sqrt[3]{{40abc}} \Leftrightarrow abc \le \dfrac{{{{20}^3}}}{{40}} = 200\).

Do đó \({V_{OABC}} \ge \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{{60}^3}}}{{200}} = 180\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 4b = 5c\\2a + 4b + 5c = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow 2a = 4b = 5c = 20 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 5\\c = 4\end{array} \right.\).

Vậy a + b + c = 19.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.