Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{x}}

Câu hỏi số 555455:

Vận dụng cao

Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{x}} \right)^n}\) \(\left( {x \ne 0} \right)\), biết rằng \(1.C_n^1 + 2.C_n^2 + 3.C_n^3 + ... + n.C_n^n = 256n\) (\(C_n^k\) là số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử).

A. \(4889888\).

B. \(48988\).

C. \(489888\).

D. \(49888\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555455

Phương pháp giải

- Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^n}\), khai triể nhị thức Niu-tơn và lấy đạo hàm hai vế.

- Cho x = 1 tìm n.

- Khai triển nhị thức Niu-tơn tổng \({\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{x}} \right)^9}\) và tìm số hạng không chứa x.

Giải chi tiết

Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} \).

Lấy đạo hàm hai vế ta được \(n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {kC_n^k{x^{k - 1}}} \).

Với x = 1 ta có

\(\begin{array}{l}n{.2^{n - 1}} = 1.C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\\ \Rightarrow n{.2^{n - 1}} = 256n\\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 256 = {2^8}\\ \Leftrightarrow n - 1 = 8 \Leftrightarrow n = 9\end{array}\)

Khi đó ta có \({\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{x}} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {2{x^2}} \right)}^{9 - k}}{{\left( { - \dfrac{3}{x}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{2^{9 - k}}.{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{18 - 3k}}} \).

Số hạng không chứa x ứng với \(18 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 6\).

Vậy số hạng không chứa x là \(C_9^6{2^3}.{\left( { - 3} \right)^6} = 489888\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.