Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường

Câu hỏi số 555768:

Vận dụng

Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng

A. \(\dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)

B. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

C. \(\dfrac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\)

D. \(\dfrac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555768

Phương pháp giải

- Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng thể tích hình cầu đường kính AD trừ đi thể tích hình nón tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AD.

- Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

*) Tính thể tích hình cầu đường kính AD:

Tam giác ABC đều, cạnh a \( \Rightarrow OA = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = R\) .

Suy ra: \({V_{cau}} = \dfrac{4}{3}\pi .{R^2} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

*) Tính thể tích hình nón (H) tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AH:

Hình nón (H) có đường cao \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = h\), bán kính đáy \(HB = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2} = r\).

Suy ra \({V_{non}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}.h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

*) Tính V.

Vậy thể tích cần tính là: \(V = {V_{cau}} - {V_{non}} = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}} - \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \dfrac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.