Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + {m^2} + 2m + 4 = 0\). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 555808:

Vận dụng

Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + {m^2} + 2m + 4 = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) sao cho \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \le 6\)?

A. \(4\)

B. \(6\)

C. \(5\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555808

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Cách 1: \(\Delta ' = 1 - \left( {{m^2} + 2m + 4} \right) = - \left( {{m^2} + 2m + 3} \right) = - {\left( {m + 1} \right)^2} - 2 < 0\,\,\forall m \in {\bf{R}}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phức chứa \(i\)

Gọi \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_1}} = a - bi\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - 2 = 2a \Leftrightarrow a = - 1\\{z_1}.{z_2} = {m^2} + 2m + 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {m^2} + 2m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\{b^2} = {m^2} + 2m + 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - \left( {a - bi} \right)} \right| = \left| {2bi} \right| = \left| {2b} \right|\)

\( \Rightarrow \left| {2b} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left| b \right| \le 3 \Leftrightarrow {b^2} \le 9\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 3 \le 9 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 6 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 1 - \sqrt 7 \le m \le - 1 + \sqrt 7 \)

Mà \(m \in {\bf{Z}}\,\, \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\)

Vậy có 5 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Cách 2: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

* \(\forall m\) thì phương trình luôn có hai nghiệm phức chứa \(i\) là hai số liên hợp của nhau

* \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \le 6 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} \le 36 \Leftrightarrow - {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} \le 36\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} \ge - 36 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2} > - 36\)

\( \Leftrightarrow {2^2} - 4\left( {{m^2} + 2m + 4} \right) \ge - 36 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 6 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 1 - \sqrt 7 \le m \le - 1 + \sqrt 7 \)

Mà \(m \in {\bf{Z}}\,\, \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\)

Vậy có 5 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.