Cho các số thực thoả mãn: \(|a| + |b| = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le

Câu hỏi số 555868:

Vận dụng

Cho các số thực thoả mãn: \(|a| + |b| = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \dfrac{{1 + 2|ab|}}{{2 + |ab|}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555868

Phương pháp giải

+ Với \(a,b \in \mathbb{R}\) ta có: \(|a - b| \ge |a| - |b|\)

Dấu “=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}a \ge b \ge 0\\a \le b \le 0\end{array} \right.\)

Từ BĐT: \(\dfrac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \dfrac{{|a|}}{{1 + |a + b|}} + \dfrac{{|b|}}{{1 + |a + b|}}\)

Giải chi tiết

Vì \(|a - b|\; \ge \;|a| - |b| \Rightarrow |a - b|\; \le \;|a| + |b|\)

\( \Rightarrow \dfrac{{|a - b|}}{{1 + |a - b|}} \le \dfrac{{|a| + |b|}}{{1 + |a| + |b|}} = \dfrac{{|a|}}{{1 + |a| + |b|}} + \dfrac{{|b|}}{{1 + |a| + |b|}}\)

Ta có: \(\dfrac{{|a|}}{{1 + |a| + |b|}} \le \dfrac{{|a|}}{{1 + |a|}}\)

\(\dfrac{{|b|}}{{1 + |a| + |b|}} \le \dfrac{{|b|}}{{1 + |b|}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{|a|}}{{1 + |a| + |b|}} + \dfrac{{|b|}}{{1 + |a| + |b|}} \le \dfrac{{|a|}}{{1 + |a|}} + \dfrac{{|b|}}{{1 + |b|}}\\ \Rightarrow \dfrac{{|a - b|}}{{1 + |a - b|}} \le \dfrac{{|a|}}{{1 + |a|}} + \dfrac{{|b|}}{{1 + |b|}}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

\(\dfrac{{|a|}}{{1 + |a|}} + \dfrac{{|b|}}{{1 + |b|}} = \dfrac{{|a|.\left( {1 + |b|} \right)}}{{\left( {1 + |a|} \right)\left( {1 + |b|} \right)}} + \dfrac{{|b|.\left( {1 + |a|} \right)}}{{\left( {1 + |a|} \right)\left( {1 + |b|} \right)}} = \dfrac{{|a| + |ab| + |b| + |ab}}{{\left( {1 + |a|} \right)\left( {1 + |b|} \right)}} = \dfrac{{|a| + |b| + 2|ab|}}{{1 + |a| + |b| + |ab|}} = \dfrac{{1 + 2|ab|}}{{2 + |ab|}}\) Vậy \(\dfrac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \dfrac{{1 + 2|ab|}}{{2 + |ab|}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link