Cho các số thực thoả mãn \(|a + b + c| \le 1,|a - b + c| \le 1;|4a + 2b + c| \le 8;|4a - 2b + c| \le 8.\)

Câu hỏi số 555870:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: \(|a| + 3|b| + |c| \le 7\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555870

Phương pháp giải

Với \(a,b \in \mathbb{R}\), ta có: \(|a| + |b| \ge |a + b|\)

Dấu “=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a.b \ge 0\)

Giải chi tiết

Ta dễ dàng chứng minh được: \(|a + c| + |b| \le 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(|4a + c| + 2|b| \le 8\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:

\(|a + c| + |4a + c| + 3|b|\; \le \;9 \Leftrightarrow | - a - c + 4a + c| + 3|b|\; \le \;9\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3|a| + 3|b| \le 9\\ \Leftrightarrow |a| + |b| \le 3\left( * \right)\end{array}\)

Ta dễ chứng minh được: \(|a + c| + | - b| \le 1 \Leftrightarrow |a + c| + |b| \le 1\left( 3 \right)\) và

\(|4a + c| + 2| - b| \le 8 \Leftrightarrow |4a + c| + 2|b| \le 8\left( 4 \right)\)

Nhân \(4\) vào (3) sau đó cộng theo vế với (4) ta được:

\(\begin{array}{l}4|a + c| + 4|b| + |4a + c| + 2|b| \le 1.4 + 8\\ \Leftrightarrow 4|a + c| + |4a + c| + 6|b| \le 12\\ \Leftrightarrow |4a + 4c| + |4a + c| + 6|b| \le 12\\ \Leftrightarrow |4a + 4c - 4a - c| + 6|b| \le 12\\ \Leftrightarrow 3|c| + 6|b| \le 12\\ \Leftrightarrow |c| + 2|b| \le 4\left( {**} \right)\end{array}\)

Cộng theo vế (*) và (**) ta được: \(|a| + 3|b| + |c| \le 7\left( {dpcm} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link