Cho các số thực \(a,b,c\) thoả mãn \(\left| {a{x^2} + bx + c} \right| \le 1,\forall |x| \le 1\). Chứng minh

Câu hỏi số 555871:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b,c\) thoả mãn \(\left| {a{x^2} + bx + c} \right| \le 1,\forall |x| \le 1\). Chứng minh rằng \(|a| + 2|b| + 3|c| \le 7\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555871

Phương pháp giải

Với \(a,b \in \mathbb{R}\), ta có: \(|a| + |b| \ge |a + b|\)

Dấu “=“ xảy ra \( \Leftrightarrow a.b \ge 0\)

Giải chi tiết

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).

Khi đó: \(f\left( 1 \right) = a + b + c;f\left( { - 1} \right) = a - b + c;f\left( 0 \right) = c\)

Do đó, \(a = \dfrac{1}{2}\left[ {f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)} \right] - f\left( 0 \right);\)\(b = \dfrac{1}{2}\left[ {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right];\)\(c = f\left( 0 \right)\)

\( \Rightarrow |a| + 2|b| + 3|c| = \dfrac{1}{2}\left| {f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right) - 2f\left( 0 \right)} \right| + \left| {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right| + 3\left| {f\left( 0 \right)} \right|\)

\(\begin{array}{l} \le \dfrac{3}{2}\left| {f\left( 1 \right)} \right| + \dfrac{3}{2}\left| {f\left( { - 1} \right)} \right| + 4\left| {f\left( 0 \right)} \right|\\ \le 7\end{array}\)

Vậy \(|a| + 2|b| + 3|c| \le 7\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link