Cho hai số thực dương \(a,b\) thoả mãn \(a + b \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A

Câu hỏi số 556082:

Thông hiểu

Cho hai số thực dương \(a,b\) thoả mãn \(a + b \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = ab + \dfrac{1}{{ab}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556082

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

+ Giả sử dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\). Khi đó ta có điểm rơi: \(ab = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ab}}{k} = \dfrac{1}{{ab}}\\\dfrac{1}{{ab}} = 4\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{{4k}} = 4 \Rightarrow k = \dfrac{1}{{16}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\\ \Leftrightarrow ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow - ab \ge - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Do đó, \(A = 16ab + \dfrac{1}{{ab}} - 15ab \ge 2\sqrt {16ab.\dfrac{1}{{ab}}} - 15ab \ge 8 - 15.\dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\dfrac{{17}}{4}\) khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link