Nếu \(\int {\dfrac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx = 2f\left( x \right) - x + C} \) thì \(f\left( x \right)\)

Câu hỏi số 555911:

Vận dụng

Nếu \(\int {\dfrac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx = 2f\left( x \right) - x + C} \) thì \(f\left( x \right)\) bằng

A. \({e^x} + 1\)

B. \({e^x}\)

C. \({e^x} - 1\)

D. \(\ln \left( {{e^x} + 1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555911

Phương pháp giải

- Nguyên hàm của hàm số mũ

- Tách \(\int {\dfrac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx - \int {\dfrac{1}{{{e^x} + 1}}dx} } } \)

- Đặt ẩn phụ \(t = {e^x} + 1\). Tính \(\int {\dfrac{1}{{{e^x} + 1}}dx} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\int {\dfrac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx - \int {\dfrac{1}{{{e^x} + 1}}dx = \ln \left( {{e^x} + 1} \right) - \int {\dfrac{1}{{{e^x} + 1}}dx} } } } \).

Đặt \({e^x} + 1 = t \Rightarrow {e^x}dx = dt \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{{e^x}}} = \dfrac{{dt}}{{t - 1}}\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int {\dfrac{1}{{{e^x} + 1}}dx = \int {\dfrac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}}dt} = \int {\left( {\dfrac{1}{{t - 1}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} } \\ = \int {\dfrac{1}{{t - 1}}dt - \int {\dfrac{1}{t}dt = \ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| t \right| + C} } \\ = \ln \left( {{e^x}} \right) - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\end{array}\)

Suy ra\(\int {\dfrac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx = 2\ln \left( {{e^x} + 1} \right) - x + C} \).

Vậy \(f\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.