Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}{\left( {{x^2} + 2x + 3}

Câu hỏi số 555913:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^{{y^2} + 8}} \le 7 - {y^2} + 3y\)?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 7

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555913

Phương pháp giải

- Chứng minh vế trái lớn hơn hoặc bằng \({y^2} + 8\).

- Từ bất phương trình đã cho tìm được khoảng giá trị của \(y\), kết hợp với \(y\) nguyên từ đó tìm được \(y\).

- Thay \(y\) vào bất phương trình đã cho tìm \(x\).

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2} + 2x + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \ge {\log _2}2 = 1\).

\( \Rightarrow {\log _2}{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^{{y^2} + 8}} = \left( {{y^2} + 8} \right).{\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \ge {y^2} + 8\).

Từ giả thiết ta suy ra

\({y^2} + 8 \le 7 - {y^2} + 3y\) \( \Leftrightarrow 2{y^2} - 3y + 1 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le y \le 1\)

Mà \(y\) nguyên nên \(y = 1\).

Khi đó thay vào bất phương trình đã cho ta được \({\log _2}{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^9} \le 9\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 \le 2\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow x = - 1\end{array}\)

Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.