Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên \(\left[ { - 1;2} \right]\)

Câu hỏi số 555914:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\), \(\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\). Đặt \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( x \right)dx,\,\,{S_2}} \) là diện tích được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\), và hai đường thẳng \(x = - 1;\,\,x = 2\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \({S_1} = 2{S_2}\)

B. \({S_1} = 3{S_2}\)

C. \(2{S_1} = {S_2}\)

D. \(3{S_1} = {S_2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555914

Phương pháp giải

Đặt \(x = 1 - t\). Tính \({S_1}\) theo \(t\).

Từ đó tìm được tỉ số giữa \({S_1},\,\,{S_2}\).

Giải chi tiết

Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) nên \({S_2} = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Đặt \(x = 1 - t\) \( \Rightarrow dx = - dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {1 - t} \right)f\left( {1 - t} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {1 - t} \right)f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_{ - 1}^2 {t.f\left( t \right)dt} \\ \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx - \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( x \right)dx} } \\ \Rightarrow 2\int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} } \\ \Rightarrow 2{S_1} = {S_2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.