Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Gọi \(S\) là tâm hình vuông

Câu hỏi số 555915:

Vận dụng cao

Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Gọi \(S\) là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC\). Biết rằng nếu \(MN\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \({60^0}\) và \(AB = a\) thì thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{{12}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{3}\)

C. \({a^3}\sqrt {30} \)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555915

Phương pháp giải

- Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(OA\).

- Từ đó chứng minh góc \(\angle MNH = {60^0}\).

- Tính \(MH\) rồi suy ra chiều cao của hình hộp.

- Tính thể tích khối chóp.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(H\) là trung điểm của \(OA\).

Ta có: \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(SOA\) \( \Rightarrow MH//SO\)

Mà \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(MH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(\left( {MN,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {MN,HN} \right) = \angle MNH = {60^0}\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(NB\). Ta có: \(\dfrac{{CF}}{{CB}} = \dfrac{{CH}}{{CA}} = \dfrac{3}{4}\) nên HF // AB. Mà \(AB \bot BC \Rightarrow HF \bot BC\).

Theo định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HF}}{{AB}} = \dfrac{{CH}}{{CA}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HF = \dfrac{{3a}}{4}\).

Hơn nữa: \(NF = \dfrac{{BC}}{4} = \dfrac{a}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong ta giác vuông HFN ta có: \(HN = \sqrt {H{F^2} + N{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Tam giác \(MHN\) vuông tại \(H\) có \(\angle MNH = {60^0}\) nên \(MH = HN\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

\( \Rightarrow SO = 2MH = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {30} }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.