Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và các cạnh còn lại đều bẳng \(a\). Biết

Câu hỏi số 555916:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và các cạnh còn lại đều bẳng \(a\). Biết rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt m }}{n}\) với \(m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*},\,\,m \le 15\). Tổng \(T = m + n\) bằng

A. 15

B. 17

C. 19

D. 21

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555916

Phương pháp giải

- Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy \(ABC\).

- Chứng minh \(DO\) là trục của đáy.

- Dựng \(HI\) vuông góc với \(DA\), \(I \in DO\) thì \(I\) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

- Tính bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy \(ABC\).

Do \(DA = DB = DC\) nên \(DO \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(DA\).

Qua \(H\) kẻ \(HI \bot DA\,\,\left( {I \in DO} \right)\). Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xét tam giác ABC có: \(\cos \angle ACB = \dfrac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} = \dfrac{{{a^2} + {a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.a.a}} = \dfrac{5}{8}\) \( \Rightarrow \sin \angle ACB = \dfrac{{\sqrt {39} }}{8}\).

Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(OA = \dfrac{{AB}}{{2\sin \angle ACB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{2.\dfrac{{\sqrt {39} }}{8}}} = \dfrac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}\) (định lí Sin)

Tam giác \(DAO\) vuông tại \(O\) nên \(DO = \sqrt {D{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\).

Ta có: \(\Delta DHI~\Delta DOA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow DI = \dfrac{{DH.DA}}{{DO}} = \dfrac{{D{A^2}}}{{2DO}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2.\dfrac{{3\sqrt {13} }}{{13}}}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}\).

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(R = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}\) \( \Rightarrow m = 13,\,\,n = 6\).

Vậy \(m + n = 13 + 6 = 19\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.