Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 + \ln x} }}dx = a + b\sqrt 2 } ,\,\,a,\,\,b \in {\bf{Q}}\). Tính

Câu hỏi số 556052:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 + \ln x} }}dx = a + b\sqrt 2 } ,\,\,a,\,\,b \in {\bf{Q}}\). Tính \(a + b\).

A. \(\dfrac{2}{3}\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556052

Phương pháp giải

- Dùng công thức: \(\dfrac{{dx}}{x} = d\left( {\ln x} \right)\).

- Đổi biến \(t = \ln x\) rồi tính tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 + \ln x} }}dx = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt {1 + \ln x} }}d\left( {\ln x} \right)} } \).

Đặt \(\ln x = t \Rightarrow d\left( {\ln x} \right) = dt\).

\(\begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array}\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt {1 + \ln x} }}d\left( {\ln x} \right)} = \int\limits_0^1 {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + t} }}dt = \int\limits_0^1 {\sqrt {t + 1} dt} - \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + t} }}dt} } = \left. {\dfrac{2}{3}{{\left( {t + 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right|_0^1 - \left. {2\sqrt {1 + t} } \right|_0^1 = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3} - \dfrac{2}{3} - 2\sqrt 2 + 2 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy \(a = \dfrac{4}{3},\,\,b = - \dfrac{2}{3} \Rightarrow a + b = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.