Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right),\,\,C\left( {1;1;1}

Câu hỏi số 556059:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right),\,\,C\left( {1;1;1} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(A,\,\,B\) sao cho khoảng cách từ \(C\) tới \(\left( P \right)\) bằng \(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\). Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Oy\).

A. \(M\left( {0; - 1;0} \right)\) hoặc \(M\left( {0;\dfrac{{23}}{{37}};0} \right)\)

B. \(M\left( {0;1;0} \right)\) hoặc \(M\left( {0; - \dfrac{{23}}{7};0} \right)\)

C. \(M\left( {0; - 1;0} \right)\) hoặc \(M\left( {0; - \dfrac{{23}}{{37}};0} \right)\)

D. \(M\left( {0; - 1;0} \right)\) hoặc \(M\left( {0;\dfrac{{23}}{{37}};0} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556059

Phương pháp giải

Gọi véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {a;b;c} \right)\).

Khoảng cách từ \(H\left( {m;n;p} \right)\) đến \(\left( P \right):\,\,ax + by + cz + d = 0\) là \(d = \dfrac{{\left| {am + bn + cp + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Dựa vào giả thiết bài toán viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\), sau đó tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Oy\).

Giải chi tiết

Gọi véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {a;b;c} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_p}} \bot \overrightarrow {AB} \).

Mà \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;3} \right)\) nên \( - a - 2b + 3c = 0 \Rightarrow a = - 2b + 3c\) (1).

Do \(A \in \left( P \right)\) nên \(\left( P \right):\,\,a\left( {x - 1} \right) + by + cz = 0 \Rightarrow ax + by + cz - a = 0\).

Khoảng cách từ \(C\) tới \(\left( P \right)\) bằng \(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\) nên \(\dfrac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

\( \Rightarrow 6bc = 4{a^2} + {b^2} + {c^2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) ta được \(6bc = 4{\left( { - 2b + 3c} \right)^2} + {b^2} + {c^2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 17{b^2} - 54bc + 37{c^2} = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = c\\17b = 37c\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(b = c \Rightarrow a = 3c - 2b = b\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,b\left( {x - 1} \right) + by + bz = 0 \Rightarrow x + y + z - 1 = 0\).

Giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Oy\) là \(M\left( {0;1;0} \right)\).

TH2: \(c = \dfrac{{17b}}{{37}} \Rightarrow a = 3c - 2b = - \dfrac{{23}}{{37}}b\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\, - \dfrac{{23}}{{37}}b\left( {x - 1} \right) + by + \dfrac{{17}}{{37}}bz = 0 \Rightarrow - \dfrac{{23}}{{37}}x + y + \dfrac{{17}}{{37}}z + \dfrac{{23}}{{37}} = 0\)

Giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Oy\) là \(M\left( {0; - \dfrac{{23}}{{37}};0} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.