Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right)

Câu hỏi số 556063:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\bf{R}}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x - 1}}{2}}},\,\,\forall x \in {\bf{R}}\), và \(f\left( 1 \right) = {e^2}\). Biết \(f\left( 3 \right) = a.{e^b} + c,\,\,a,b,c \in {\bf{N}}\). Tính \(2a + 3b + 4c\).

A. 36

B. 30

C. 24

D. 32

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556063

Phương pháp giải

- Biến đổi đưa về dạng \(\left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right)' = h\left( x \right)\). Lấy tích phân hai vế cận từ 1 tới 3.

- Dùng công thức tích phân từng phần từ đó tính được \(f\left( 3 \right)\).

- Tính \(f\left( 3 \right)\) từ đó tính \(2a + 3b + 4c\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x - 1}}{2}}},\,\,\forall x \in {\bf{R}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^{ - 2x}}.f'\left( x \right) - 2.{e^{ - 2x}}.f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - 2x}}f\left( x \right)} \right)'} = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}\\ \Rightarrow \left. {{e^{ - 2x}}f\left( x \right)} \right|_1^3 = \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx} \\ \Rightarrow {e^{ - 6}}.f\left( 3 \right) - 1 = \int\limits_1^3 {{x^2}.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx + \int\limits_1^3 {{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx} } \end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = x.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^3 {{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}} dx = \left. {x.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}} \right|_1^3 - \int\limits_1^3 {{x^2}.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx} = 3{e^4} - 1 - \int\limits_1^3 {{x^2}.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx} \\ \Rightarrow {e^{ - 6}}.f\left( 3 \right) - 1 = \int\limits_1^3 {{x^2}.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx} + 3{e^4} - 1 - \int\limits_1^3 {{x^2}.{e^{\frac{{{x^2} - 1}}{2}}}dx} = 3{e^4} - 1\\ \Rightarrow {e^{ - 6}}f\left( 3 \right) = 3{e^4}\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = 3{e^{10}}\end{array}\)

Vậy \(a = 3,\,\,b = 10,\,\,c = 0 \Rightarrow 2a + 3b + 4c = 2.3 + 3.10 = 36\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.