Cho hai hàm số \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\) và hàm số \(f'\left( x

Câu hỏi số 556064:

Vận dụng

Cho hai hàm số \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) liên tục trên \({\bf{R}}\) và hàm số \(f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g'\left( x \right) = q{x^2} + nx + p,\,\,a,q \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) bằng 10 và \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\). Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng \(\dfrac{a}{b}\) với \(a,b \in {\bf{N}}\) và \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a - b\).

A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556064

Phương pháp giải

Xét \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).

\( \Rightarrow h\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right) = 0\).

Hơn nữa: \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = kx\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Dựa vào giả thiết ta tìm được \(h\left( x \right)\) sau đó tính được diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Xét \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)\( \Rightarrow h\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right) = 0\).

Hơn nữa: \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = kx\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Ta có: \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right|dx} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 10 = \int\limits_0^2 {k\left| {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} \\ \Rightarrow \dfrac{k}{2} = 10 \Rightarrow k = 20\end{array}\)

Khi đó: \(h'\left( x \right) = 20x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 20{x^3} - 60{x^2} + 40x\).

\( \Rightarrow h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx = 5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2} + C} \)

Vì \(h\left( 2 \right) = 0\) nên \(C = 0\).

Do đó \(h\left( x \right) = 5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2}\).

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

\( \Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} = \int\limits_0^2 {\left| {5{x^4} - 20{x^3} + 20{x^2}} \right|dx} = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy \(a = 16,\,\,b = 3 \Rightarrow a - b = 13\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.