Cho số thực \(a \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(B = {a^2} +

Câu hỏi số 556083:

Thông hiểu

Cho số thực \(a \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(B = {a^2} + \dfrac{{18}}{a}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556083

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

+ \(B = {a^2} + \dfrac{{18}}{a} = {a^2} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a}\)

Giả sử dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 6\). Khi đó ta có điểm rơi: \(a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{k} = \dfrac{9}{a}\\\dfrac{9}{a} = \dfrac{9}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{36}}{k} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow k = 24\)

Giải chi tiết

Ta có: \(B = {a^2} + \dfrac{{18}}{a} = \dfrac{{{a^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{{23{a^2}}}{{24}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương: \(\dfrac{{{a^2}}}{{24}};\dfrac{9}{a};\dfrac{9}{a}\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{a^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{a^2}}}{{24}}.\dfrac{9}{a}.\dfrac{9}{a}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{{23{a^2}}}{{24}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{81}}{{24}}}} + \dfrac{{23{a^2}}}{{24}}\\ \Leftrightarrow B \ge 3.\dfrac{9}{2} + \dfrac{{23.36}}{{24}}\\ \Leftrightarrow B \ge 48\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{24}} = \dfrac{9}{a} \Rightarrow {a^3} = 216 \Leftrightarrow a = 6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B = 48\) khi và chỉ khi \(a = 6\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link