Cho \(a,b\) là số thực dương tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \dfrac{{a +

Câu hỏi số 556084:

Vận dụng

Cho \(a,b\) là số thực dương tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556084

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

+ Giả sử dấu “\( = \)” \( \Leftrightarrow a = b\). Khi đó điểm rơi, ta có: \(a = b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + b}}{{k\sqrt {ab} }} = \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\\\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{2}{k} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = 4\)

Giải chi tiết

Ta có: \(C = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} = \dfrac{{a + b}}{{4\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} + \dfrac{{3\left( {a + b} \right)}}{{4\sqrt {ab} }}\)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(a,b\), ta có : \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\dfrac{{a + b}}{{4\sqrt {ab} }};\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\), ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{a + b}}{{4\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{\left( {a + b} \right)}}{{4\sqrt {ab} }}.\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\left( {a + b} \right)}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{a + b}}{{4\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} + \dfrac{{3\left( {a + b} \right)}}{{4\sqrt {ab} }} \ge 1 + \dfrac{{3\left( {a + b} \right)}}{{4\sqrt {ab} }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C \ge 1 + \dfrac{{3.2\sqrt {ab} }}{{4\sqrt {ab} }}\\ \Leftrightarrow C \ge 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \(a = b\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(\dfrac{5}{2}\) khi và chỉ khi \(a = b\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link