Cho số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}}

Câu hỏi số 556086:

Vận dụng

Cho số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556086

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

+ Bất đẳng thức AM – GM: Với \(n\) số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

+ \(\dfrac{n}{{\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{x_n}}}}} \le \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} \le \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{a + c}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{a + c}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1 \ge \dfrac{3}{2} + 1 + 1 + 1 = \dfrac{9}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + b}} \ge \dfrac{9}{2}\\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge \dfrac{9}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge 9\\ \Rightarrow \left( {a + b + c + a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge 9\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b + c = x\\a + c = y\\a + b = z\end{array} \right.\). Khi đó: \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 9\) (đúng với bất đẳng thức AM - GM)

\( \Rightarrow \)đpcm

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link