Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 8 = 0\). Viết

Câu hỏi số 556380:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 8 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. \(5x - \left( {3 - 2\sqrt 6 } \right)y = 0\), \(5x + \left( {3 + 2\sqrt 6 } \right)y = 0\)

B. \(\left( {2 + 3\sqrt 6 } \right)x - 5z = 0\), \(\left( {2 - 3\sqrt 6 } \right)x - 5z = 0\)

C. \(5x - \left( {2 + 3\sqrt 6 } \right)y = 0\), \(5x - \left( {2 - 3\sqrt 6 } \right)y = 0\)

D. \(\left( {3 - 2\sqrt 6 } \right)x + 5z = 0\), \(\left( {3 + 2\sqrt 6 } \right)x + 5z = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556380

Phương pháp giải

- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

- Gọi mặt phẳng cần tìm là (P): Ax + By + Cz + D = 0.

- Thay tọa độ điểm O, A(0;1;0) vào (P) tìm B, D.

- Vì (P) tiếp xúc với (S) nên \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\), giải phương trình tìm A theo C.

- Ứng với mỗi TH, chọn C, từ đó suy ra A và viết phương trình mặt phẳng.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 8 = 0\) có tâm I(1;-2;3), bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 - 8} = \sqrt 6 \).

Gọi mặt phẳng cần tìm là (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Vì \(\left( P \right) \supset Oy \Rightarrow O \in \left( P \right) \Rightarrow D = 0\).

Lấy A(0;1;0) thuộc Oy \( \Rightarrow A \in \left( P \right) \Rightarrow B = 0\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\) có dạng \(Ax + Cz = 0\,\,\left( {{A^2} + {C^2} \ne 0} \right)\).

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

\(\begin{array}{l}d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \dfrac{{\left| {A + 3C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {C^2}} }} = \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow {A^2} + 6AC + 9{C^2} = 6{A^2} + 6{C^2}\\ \Leftrightarrow 5{A^2} - 6AC - 3{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = \dfrac{{3 + 2\sqrt 6 }}{5}C\\A = \dfrac{{3 - \sqrt 6 }}{5}C\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(A = \dfrac{{3 + 2\sqrt 6 }}{5}C\).

Chọn C = 5 \( \Rightarrow A = 3 + 2\sqrt 6 \) \( \Rightarrow \left( P \right):\,\,\left( {3 + 2\sqrt 6 } \right)x + 5z = 0\).

TH2: \(A = \dfrac{{3 - 2\sqrt 6 }}{5}C\).

Chọn C = 5 \( \Rightarrow A = 3 - 2\sqrt 6 \) \( \Rightarrow \left( P \right):\,\,\left( {3 - 2\sqrt 6 } \right)x + 5z = 0\).

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu là \(\left( {3 - 2\sqrt 6 } \right)x + 5z = 0\), \(\left( {3 + 2\sqrt 6 } \right)x + 5z = 0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.