Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 8y + 9 = 0\) và hai

Câu hỏi số 556383:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 8y + 9 = 0\) và hai điểm A(4;2;1), B(3;0;0). Gọi M là một điểm bất kì thuộc mặt cầu (S). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2MA + MB bằng

A. \(4\sqrt 2 \)

B. \(6\sqrt 2 \)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(3\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556383

Phương pháp giải

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

- Gọi C thỏa mãn \(\overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} \) và MB = 2MC. Tìm k.

- Tìm C, sử dụng BĐT tam giác.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 8y + 9 = 0\) có tâm I(-1;4;0), bán kính \(R = \sqrt {1 + 16 - 9} = 2\sqrt 2 \).

Gọi C thỏa mãn \(\overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} \) và MB = 2MC.

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{B^2} = I{M^2} + I{B^2} - 2IM.IB.\cos \angle MIB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {R^2} + \left[ {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} \right] - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IB} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 40 - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IB} = 40 - 2k\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} \\M{C^2} = I{M^2} + I{C^2} - 2IM.IC.\cos \angle MIC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {R^2} + I{C^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} \end{array}\)

Mà MB = 2MC, \(\overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{B^2} = 4M{C^2}\\ \Rightarrow 40 - 2k\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} = 4\left( {{R^2} + I{C^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} } \right)\\ \Leftrightarrow 40 - 2k\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} = 4\left( {8 + \dfrac{{32}}{{{k^2}}} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} } \right)\\ \Leftrightarrow 40 - 2k\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} = 4\left( {8 + \dfrac{{32}}{{{k^2}}}} \right) - 8\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IC} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}40 = 4\left( {8 + \dfrac{{32}}{{{k^2}}}} \right)\\ - 2k = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tồn tại điểm C thỏa mãn \(\overrightarrow {IB} = 4\overrightarrow {IC} \) sao cho MB = 2MC.

Ta có: \(\overrightarrow {IB} = \left( {4; - 4;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IC} = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow C\left( {0;3;0} \right)\) nằm trong mặt cầu (S).

Khi đó ta có \(P = 2MA + MB = 2MA + 2MC \ge 2AC = 2\sqrt {{4^2} + {1^2} + {1^2}} = 6\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của AC và (S).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.