Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(2 \le x \le 2022\), \(1 \le y

Câu hỏi số 556384:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(2 \le x \le 2022\), \(1 \le y \le 2022\) và \({\log _2}\sqrt[4]{{\dfrac{{y + 3}}{{2x + 1}}}} + {4^x} = {2^{y + 2}}\)?

A. 1011

B. 1010

C. 1009

D. 1012

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556384

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\sqrt[4]{{\dfrac{{y + 3}}{{2x + 1}}}} + {4^x} = {2^{y + 2}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {\dfrac{{y + 3}}{{2x + 1}}} \right)^{\dfrac{1}{4}}} + {4^x} = {2^{y + 2}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{\log _2}\left( {\dfrac{{y + 3}}{{2x + 1}}} \right) + {4^x} = {2^{y + 2}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{y + 3}}{{2x + 1}}} \right) + {4^{x + 1}} = {4.2^{y + 2}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{y + 3}}{{2x + 1}}} \right) + {2^{2x + 2}} = {2^{y + 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + 3} \right) - {2^{y + 4}} = {\log _2}\left( {2x + 1} \right) - {2^{2x + 2}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t - {2^{t + 1}}\), \(t \in \left[ {4; + \infty } \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} - {2^{t + 1}}\ln 2 = \dfrac{{1 - t{{.2}^{t + 1}}{{\ln }^2}2}}{{t\ln 2}} < 0\,\,\forall t \ge 4\)

Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow f\left( {y + 3} \right) = f\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow y + 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 2\)

Vì \(1 \le y \le 2022 \Leftrightarrow 1 \le 2x - 2 \le 2022 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \le x \le 1012\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4;...;1012} \right\}\). Với mỗi giá trị của x cho 1 giá trị tương ứng của y.

Vậy có 1011 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.