Biết hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + 3x + 1\) (\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\) và \(a \ne 0\)) đạt

Câu hỏi số 556385:

Vận dụng cao

Biết hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + 3x + 1\) (\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\) và \(a \ne 0\)) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{10}}{3}\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) bằng:

A. \(\dfrac{1}{6}\)

B. \(\dfrac{1}{{12}}\)

C. \(\dfrac{1}{3}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556385

Phương pháp giải

- Tính f’(x). Sử dụng hệ thức Vi-ét tìm \({x_1} + {x_2}\), từ đó biểu diễn b theo a.

- Sử dụng \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{10}}{3}\), hệ thức Vi-ét, các hằng đẳng thức, thế b theo a, từ đó giải phương trình tìm a, b.

- Suy ra hàm số f(x) và các điểm cực trị của nó.

- Viết phương trình hàm số g(x) đi qua 2 điểm cực trị của f(x).

- Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + 3\).

Vì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 4\) nên \(\dfrac{{ - 2b}}{{3a}} = 4 \Leftrightarrow b = - 6a\) (hệ thức Vi-ét).

Lại có: \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{10}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ax_1^3 + bx_1^2 + 3{x_1} + 1 + ax_2^3 + bx_2^2 + 3{x_2} + 1 = \dfrac{{10}}{3}\\ \Leftrightarrow a\left( {x_1^3 + x_2^3} \right) + b\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow a\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] + b\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 3.4 = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow a\left( {64 - 12{x_1}{x_2}} \right) + b\left( {16 - 2{x_1}{x_2}} \right) = - \dfrac{{32}}{3}\end{array}\)

Tiếp tục theo hệ thức Vi-et ta có \({x_1}{x_2} = \dfrac{3}{{3a}} = \dfrac{1}{a}\) nên

\(\begin{array}{l}a\left( {64 - \dfrac{{12}}{a}} \right) + b\left( {16 - \dfrac{2}{a}} \right) = - \dfrac{{32}}{3}\\ \Leftrightarrow 64a - 12 + 16b - \dfrac{{2b}}{a} = - \dfrac{{32}}{3}\\ \Leftrightarrow 64a - 12 + 16\left( { - 6a} \right) - \dfrac{{2.\left( { - 6a} \right)}}{a} = - \dfrac{{32}}{3}\\ \Leftrightarrow 64a - 12 - 96a + 12 = - \dfrac{{32}}{3}\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{3} \Rightarrow b = - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = \dfrac{7}{3}\\x = 3 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số có 2 điểm cực trị \(\left( {1;\dfrac{7}{3}} \right),\,\,\left( {3;1} \right)\).

Phương trình đường thăng đi qua 2 điểm cực trị là:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{y - \dfrac{7}{3}}}{{1 - \dfrac{7}{3}}} \Leftrightarrow - \dfrac{4}{3}\left( {x - 1} \right) = 2\left( {y - \dfrac{7}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2x + 2 = 3y - 7 \Leftrightarrow y = - \dfrac{2}{3}x + 3 = g\left( x \right)\end{array}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 = - \dfrac{2}{3}x + 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\).

Vậy diện tích cần tính là: \(S = \int\limits_1^3 {\left| {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1} \right) - \left( { - \dfrac{2}{3}x + 3} \right)} \right|dx} = \dfrac{1}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.